如图,AB是O的直径,AE交O于点E,且与O的切线CD互相垂直,垂足为D。(1)求证:∠EAC=∠CAB;(2)若CD=4,AD=8:①求O的半径;②求tan∠

如图,AB是O的直径,AE交O于点E,且与O的切线CD互相垂直,垂足为D。(1)求证:∠EAC=∠CAB;(2)若CD=4,AD=8:①求O的半径;②求tan∠

题型:不详难度:来源:
如图,AB是O的直径,AE交O于点E,且与O的切线CD互相垂直,垂足
为D。

(1)求证:∠EAC=∠CAB;
(2)若CD=4,AD=8:
①求O的半径;
②求tan∠BAE的值。
答案
(1)证明见解析(2)①5,②
解析
(1)证明:连接OC。 

∵CD是⊙O的切线,∴CD⊥OC。
又∵CD⊥AE,∴OC∥AE。∴∠1=∠3。
∵OC=OA,∴∠2=∠3。
∴∠1=∠2,即∠EAC=∠CAB。
(2)解:①连接BC。

∵AB是⊙O的直径,CD⊥AE于点D,
∴∠ACB=∠ADC=90°。
∵∠1=∠2,∴△ACD∽△ABC。∴
∵AC2=AD2+CD2=42+82=80,
∴AB==10。
∴⊙O的半径为10÷2=5。
②连接CF与BF。

∵四边形ABCF是⊙O的内接四边形,
∴∠ABC+∠AFC=180°。
∵∠DFC+∠AFC=180°,∴∠DFC=∠ABC。
∵∠2+∠ABC=90°, ∠DFC+∠DCF=90°,
∴∠2=∠DCF。
∵∠1=∠2,∴∠1=∠DCF。
∵∠CDF=∠CDF,∴△DCF∽△DAC。∴。∴DF==2。
∴AF=AD-DF=8-2=6。
∵AB是⊙O的直径,∴∠BFA=90°。
∴BF==8。∴tan∠BAD=。    
(1)连接OC,由CD是⊙O的切线,CD⊥OC,又由CD⊥AE,即可判定OC∥AE,根据平行线的性质与等腰三角形的性质,即可证得∠EAC=∠CAB。
(2)①连接BC,易证得△ACD∽△ABC,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得AB的长,
从而可得⊙O的半径长。
②连接CF与BF.由四边形ABCF是⊙O的内接四边形,易证得△DCF∽△DAC,然后根据
相似三角形的对应边成比例,求得AF的长,又由AB是⊙O的直径,即可得∠BFA是直角,利用勾股定理求得BF的长,即可求得tan∠BAE的值。
举一反三
如图,两个同心圆的半径分别为4cm和5cm,大圆的一条弦AB与小圆相切,则弦AB的长为【   】
A.3cmB.4cmC.6cmD.8cm

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如图,⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G,则弧所对的圆周角∠FPG的大小为       度.
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如图,一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周,圆心移动的距离是【   】
A.2cmB.4cmC.8cmD.16cm

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如图,⊙O的半径为3cm,当圆心O到直线AB的距离为     cm时,直线AB与⊙O相切.
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已知圆锥的母线长为8cm,底面圆的半径为3cm,则圆锥的侧面展开图的面积是     cm2
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