解:(Ⅰ)(1)证明:在图①中,连接OE,OF。
∵点E、F、G是⊙O的切点 ∴四边形CEOF是正方形, CE=CF=r1。 又∵AC=3,BC=4,AB=5, ∴AG=AE=3-r1,BG=BF=4-r1,AG+BG=5。 ∴(3-r1)+(4-r1)=5,解得r1=1。 (2)连接OG,OA在Rt△AOG中,∵OG=r1=1, AG= 3-r1=2, ∴tan∠OAG=。 (Ⅱ) (1)连接O1A、O2B,作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E。 则 AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC。 由(Ⅰ)tan∠OAG=,知tan∠O1AD=, 同理可得:tan∠O2BE=。 ∴AD=2r2,DE=2r2,BE=3r2。 ∵AD+DE+BE=5,∴。 (2)如图③, 连接O1A、OnB,作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E、…、OnF⊥AB交于点F。则AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC。 tan∠O1AD=,tan∠OnBF=, ∴AD=2rn,DE=2rn,…,FB=3rn。 又∵AD+DE+…+FB=5,2rn+2rn+…+3rn=5,即(2n+3) rn=5, ∴。 (Ⅰ)(1)由切线的性质可得四边形CEOF是正方形,从而由AG=AE=3-r1,BG=BF=4-r1,AG+BG=5可证得内切圆的半径r1=1。 (2)根据锐角三角函数定义直接求得。 (Ⅱ)(1)由(Ⅰ)的结论得tan∠O1AD=,同理可推得tan∠O2BE=,从而由AD=2r2,DE=2r2,BE=3r2和AD+DE+BE=5可求得r2的值。 (2)由(Ⅱ)(1)有tan∠O1AD=,tan∠OnBF=,从而由AD=2rn,DE=2rn,…,FB=3rn和AD+DE+…+FB=5,2rn+2rn+…+3rn=5可求得rn的值。 |