⊙O过△ABC顶点A,C,且与AB,BC交于K,N(K与N不同).△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M.求证:∠BMO=90°.(第26届IMO第五题)
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⊙O过△ABC顶点A,C,且与AB,BC交于K,N(K与N不同).△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M.求证:∠BMO=90°.(第26届IMO第五题)
题型:不详
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⊙O过△ABC顶点A,C,且与AB,BC交于K,N(K与N不同).△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M.求证:∠BMO=90°.(第26届IMO第五题)
答案
证明:连接OC,OK,MC,MK,延长BM到G,
∵△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M,
∴∠GMC=∠BAC=∠BNK=∠BMK,
而∠COK=2•∠BAC=∠GMC+∠BMK=180°-∠CMK,
∴∠COK+∠CMK=180°,
∴C,O,K,M四点共圆,
在这个圆中,由OC=OK得
OC
=
OK
,
∴∠OMC=∠OMK,但∠GMC=∠BMK,
∴∠BMO=90°.
举一反三
如图,在Rt△ABC中∠ACB=90°,AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作⊙O,设线段CD的中点为P,则点P与⊙O的位置关系是( )
A.点P在⊙O内
B.点P在⊙O上
C.点P在⊙O外
D.无法确定
题型:不详
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圆心在原点O,半径为5的⊙O,则点P(-3,4)在⊙O______.
题型:不详
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题型:不详
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