如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=______．

题型：不详难度：来源：

如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=______．

答案

连接BE、CE，则∠ABE=∠ACE=90°．
∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，
∴△ADC∽△BDE，
∴

AC

BE

=

AD

BD

．①
同理可由△ADB∽△CDE，得

AB

EC

=

BD

DE

． ②
①×②，得

AB•AC

BE•EC

=

AD

DE

=3．
Rt△AEC中，tan∠AEC=

AC

EC

．
同理得tan∠AEB=

AB

BE

．
故tan∠AEC•tan∠AEB=

AB•AC

BE•EC

=3．
∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，
∴tan∠ABC•tan∠ACB=3．