如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=，BC=2．（1）求∠A的度数；（2）求证：BC是⊙O

题型：河北省期末题难度：来源：

如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=，BC=2．
（1）求∠A的度数；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）求MD的长度．

答案

（1）解：∵∠BOE=60°，∴∠A=∠BOE=30°．
（2）证明：在△ABC中，∵cosC=，∴∠C=60°．
又∵∠A=30°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC．
∴BC是⊙O的切线．
（3）解：∵点M是的中点，∴OM⊥AE．
在Rt△ABC中，
∵BC=2，
∴AB=BCtan60°=2×=6．
∴OA==3，
∴OD=OA=，
∴MD=．