解:根据同弧所对的圆周角相等,得∠DAN=∠DBC,∠DCN=∠DBA, 又因为∠DAN=∠BAM,∠BCM=∠DCN, 所以,∠BAM=∠MBC,∠ABM=∠BCM, 有△BAM∽△CBM,则,即BM2=AM·CM①, 又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB, ∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM, 有△DAM∽△CDN,则,即DM2=AM·CM②, 由式①、②得BM=DM,即M为BD的中点; (2)如图,延长AM交圆于点P,联结CP,则∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC, 知PC∥BD,故③, 又∠MCB=∠DCA=∠ABD,∠DBC=∠PCB, 所以,∠ABC=∠MCP, 而∠ABC=∠APC,则∠APC=∠MCP,有MP=CM④, 由式③、④得。 | |