解:(1)∵A(0,2),B(2,0) ∴OA=2,OB=2; Rt△OAB中,由勾股定理,得:AB==4; (2)∵∠AOB=90°, ∴AB是⊙O的直径; ∴⊙C的半径r=2;过C作CE⊥y轴于E,则CE∥OB; ∵C是AB的中点, ∴CE是△AOB的中位线, 则OE=OA=1,CE=OB=,即C(,1); 故⊙C的半径为2,C(,1); (3)作OB的垂直平分线,交⊙C于M、N,交OB于D; 如图;连接OC; 由垂径定理知:MN必过点C,即MN是⊙C的直径; ∴M(,3),N(,﹣1); 在Rt△OMD中,MD=3,OD=, ∴∠BOM=60°; ∵MN是直径, ∴∠MON=90°,∠BON=30°; 由于MN垂直平分OB,所以△OBM、△OBN都是等腰三角形,因此M、N均符合P点的要求; 故存在符合条件的P点:P1(,3),∠BOP1=60°;P2(,﹣1),∠BOP2=30°. |