如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于点B，大圆的弦BC⊥AB于点B，过点C作大圆的切线CD交AB的延长线于点

题型：广西自治区中考真题难度：来源：

如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于点B，大圆的弦BC⊥AB于点B，过点C作大圆的切线CD交AB的延长线于点D，连接OC交小圆于点E，连接BE、BO。
（1）求证：△AOB∽△BDC；
（2）设大圆的半径为x，CD的长为y：
①求y与x之间的函数关系式；
②当BE与小圆相切时，求x的值。

答案

解：（1）证明：如图，∵AB与小圆相切于点A，CD与大圆相交于点C，
∴∠OAB=∠OCD=90°，
∵BC⊥AB，
∴∠CBA=∠CBD=90°，
∵∠1+∠OBC=90°，∠2+∠OCB=90°，
又∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠1=∠2，
∴△AOB∽△BDC；
（2）①过点O作OF⊥BC于点F，则四边形OABF是矩形，
∴BF=OA=1，
由垂径定理，得BC=2BF=2，
在Rt△AOB中，OA=1，OB=x，
∴AB=，
由（1）得△AOB∽△BDC，
∴即，
∴y=（或y=）；
②当BE与小圆相切时，OE⊥BE，
∵OE=1，OC=x，
∴EC=x-1，BE=AB=，
在Rt△BCE中，EC²+BE²=BC²，
即（x-1）²+（）²=2²，
解得：x₁=2x₂=-1（舍去），
∴当BE与小圆相切时，x=2。