如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D为AC上一点，∠AOD=∠C。（1）求证：OD⊥AC；（2）若AE=8， tanA=，求OD的长。

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D为AC上一点，∠AOD=∠C。
（1）求证：OD⊥AC；
（2）若AE=8， tanA=，求OD的长。

答案

解：（1）∵BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径
∴∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
又∵∠AOD=∠C，
∴∠AOD+∠A=90°，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AC；
（2）∵OD⊥AE，O为圆心，
∴D为AE中点，
∴AD=AE=4，
又tanA=，
∴OD=3。