已知:在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB交⊙O于G、H两点,AC交⊙O于F、E两点,GH=FE,BH=CE.(1)如图1,求证:AO垂直平分BC;(2

已知:在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB交⊙O于G、H两点,AC交⊙O于F、E两点,GH=FE,BH=CE.(1)如图1,求证:AO垂直平分BC;(2

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已知:在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB交⊙O于G、H两点,AC交⊙O于F、E两点,GH=FE,BH=CE.
(1)如图1,求证:AO垂直平分BC;
(2)如图2,BF与CG交于点M,连接AM,并延长分别交GF、BC于点N、D,若BH=1,GH=3,GA=2,求
MN
MD
的值;
(3)在图3中,若⊙O与底边BC相切于中点D,点G、F分别为AB、AC的中点,请你找出与EF相等的线段,并加以证明.
答案
(1)证明:作OP⊥EF于P,OQ⊥GH于Q,(1分)
∵EF=GH(2分)
∴OP=OQ
∴OA平分∠BAC(3分)
∵AB=AC
∴AO垂直平分BC;(4分)

(2)∵AB=AC,BH=CE,HG=EF
∴AG=AF(5分)
AG
AB
=
AF
AC

∴GFBC(6分)
MN
MD
=
GM
MC
=
GF
BC
=
AG
AB
=
2
1+3+2
=
1
3


(3)EF=ED=DH=HG=GF=BD=DC.(7分)(此处与最后一步为同一个得分点)
证明:∵G、F为AB、AC的中点,D是BC的中点,(8分)
∴GF=
1
2
BC=BD=DC
连接DF,(9分)
∴DFAB
∴∠1=∠A=36°,∠CDF=∠B=72°
∵BC切⊙O于D
∴∠1=∠2=36°(10分)
∴∠3=36°,∠DEC=∠C=72°(11分)
∴DC=DE=EF
同理:HG=DH=BD,而HG=EF
∴EF=ED=DH=HG=GF=BD=DC.
举一反三
如图所示,CA为⊙O的切线,切点为A,点B在⊙O上,如果∠CAB=55°,那么∠AOB等于(  )
A.120°B.110°C.90°D.55°

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如图,已知直径与等边△ABC的高相等的圆O分别与边AB、BC相切于点D、E,边AC过圆心O与圆O相交于点F、G.
(1)求证:DEAC;
(2)若△ABC的边长为a,求△ECG的面积.
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如图,⊙O的割线PAB交⊙O于点A、B,PA=7cm,AB=5cm,PO=10cm,则⊙O的半径为______.
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如图,已知AB是⊙O的一条直径,延长AB至C点,使得AC=3BC,CD与⊙O相切,切点为D.若CD=


6
,则线段BC的长度等于______.
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如图,已知AB是⊙O的直径,BC⊥AB,连结OC,弦ADOC,直线CD交BA的延长线于点E.
(1)求证:直线CD是⊙O的切线;
(2)若DE=2BC,求AD:OC的值.
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