如图,直线l切⊙O于点A,点P为直线l上一点,直线PO交⊙O于点C、B,点D在线段AP上,连接DB,且AD=DB.(1)求证:DB为⊙O的切线.(2)若AD=1

如图,直线l切⊙O于点A,点P为直线l上一点,直线PO交⊙O于点C、B,点D在线段AP上,连接DB,且AD=DB.(1)求证:DB为⊙O的切线.(2)若AD=1

题型:不详难度:来源:
如图,直线l切⊙O于点A,点P为直线l上一点,直线PO交⊙O于点C、B,点D在线段AP上,连接DB,且AD=DB.
(1)求证:DB为⊙O的切线.
(2)若AD=1,PB=BO,求弦AC的长.
答案
(1)证明:连接OD;
∵PA为⊙O切线,
∴∠OAD=90°;
在△OAD和△OBD中,





OA=OB
DA=DB
DO=DO


∴△OAD≌△OBD,
∴∠OBD=∠OAD=90°,
∴OB⊥BD
∴DB为⊙O的切线

(2)在Rt△OAP中;
∵PB=OB=OA,
∴OP=2OA,
∴∠OPA=30°,
∴∠POA=60°=2∠C,
∴PD=2BD=2DA=2,
∴∠OPA=∠C=30°,
∴AC=AP=3.
举一反三
如图,点E是正方形ABCD的边CD上一点,以A为圆心,AB为半径的弧与BE交于点F,则∠EFD=______°.
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如图,已知PAC为⊙O的割线,连接PO交⊙O于B,PB=2,OP=7,PA=AC,则PA的长为(  )
A.


7
B.2


3
C.


14
D.3


2

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含30°角的直角三角板ABC中,∠A=30°.将其绕直角顶点C顺时针旋转α角(0°<α<120°且α≠90°),得到Rt△A"B"C,A"C边与AB所在直线交于点D,过点D作DEA"B"交CB"边于点E,连接BE.
(1)如图1,当A"B"边经过点B时,α=______°;
(2)在三角板旋转的过程中,若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍,猜想m的值并证明你的结论;
(3)设BC=1,AD=x,△BDE的面积为S,以点E为圆心,EB为半径作⊙E,当S=
1
3
S△ABC
时,求AD的长,并判断此时直线A"C与⊙E的位置关系.
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在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2


2

(1)如图1,若以点A为圆心、r为半径的⊙A与BC相切于点D,求r.
(2)如图2,若⊙A的半径r=1,点O在BC上运动(点O与B、C不重合),设BO=x,△AOC的面积为y.①求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.
②如图2,以点O为圆心,BO长为半径作圆,当⊙O与⊙A相切时,求△AOC的面积.
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如图,⊙O的割线PB、PD分别交⊙O于A、B、C、D.已知PA=4,PB=10,PD=8,则PC=______.
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