在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=22.(1)如图1,若以点A为圆心、r为半径的⊙A与BC相切于点D,求r.(2)如图2,若⊙A的半径r=1,点O在B

在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=22.(1)如图1,若以点A为圆心、r为半径的⊙A与BC相切于点D,求r.(2)如图2,若⊙A的半径r=1,点O在B

题型:不详难度:来源:
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2


2

(1)如图1,若以点A为圆心、r为半径的⊙A与BC相切于点D,求r.
(2)如图2,若⊙A的半径r=1,点O在BC上运动(点O与B、C不重合),设BO=x,△AOC的面积为y.①求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.
②如图2,以点O为圆心,BO长为半径作圆,当⊙O与⊙A相切时,求△AOC的面积.
答案
(1)∵△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2


2

∴△ABC为等腰直角三角形,
∴BC=4,
∵⊙A与BC相切于点D,
∴AD=r,AD⊥BC,
∴AD为BC边上的中线,
∴r=AD=
1
2
BC
=2,

(2)①作AD⊥BC于点D,
∵△ABC为等腰直角三角形,BC=4,
∴AD为BC边上的中线,
∴AD=
1
2
BC
=2,
∴S△AOC=
1
2
OC•AD

∵BO=x,△AOC的面积为y,
∴y=4-x(0<x<4),

②过O点作OE⊥AB交AB于E,
∵⊙A的半径为1,OB=x,
当两圆外切时,
∴OA=1+x,
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴∠B=45°,
∴BE=OE=


2
2
x

∴在△AEO中,AO2=AE2+OE2=(AB-BE)2+OE2
∴(1+x)2=(2


2
-


2
2
x
2+(


2
2
x
2
∴x=
7
6

∵△AOC面积=y=4-x,
∴△AOC面积=
17
6

当两圆内切时,
∴OA=x-1,
∵AO2=AE2+OE2=(AB-BE)2+OE2
∴(x-1)2=(2


2
-


2
2
x
2+(


2
2
x
2
∴x=
7
2

∴△AOC面积=y=4-x=4-
7
2
=
1
2

∴△AOC面积为
17
6
1
2
举一反三
如图,⊙O的割线PB、PD分别交⊙O于A、B、C、D.已知PA=4,PB=10,PD=8,则PC=______.
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如图,AB切⊙O于点B,OA交⊙O于C点,过C作DC⊥OA交AB于D,且BD:AD=1:2.
(1)求∠A的正切值;
(2)若OC=1,求AB及
BC
的长.
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已知:如图,以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点(异于A、B),过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C,连接OC、BP,过点O作OMCD分别交BC与BP于点M、N.下列结论:
①S四边形ABCD=
1
2
AB•CD;
②AD=AB;
③AD=ON;
④AB为过O、C、D三点的圆的切线.
其中正确的个数有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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如图,PE是⊙O的切线,E为切点,PAB、PCD是割线,AB=35,CD=50,AC:DB=1:2,则PA=______.
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如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上的一点,D在AB的延长线上,∠DCB=∠A.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若BD=2OB,CD=4,求⊙O的半径.
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