如图,以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A,BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D,AD交BM于点N,ME⊥BC于点E,AB2=AF•AC,cos

如图,以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A,BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D,AD交BM于点N,ME⊥BC于点E,AB2=AF•AC,cos

题型:不详难度:来源:
如图,以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A,BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D,AD交BM于点N,ME⊥BC于点E,AB2=AF•AC,cos∠ABD=
3
5
,AD=12.
(1)求证:△ANM≌△ENM;
(2)求证:FB是⊙O的切线;
(3)证明四边形AMEN是菱形,并求该菱形的面积S.
答案
(1)证明:∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°.
又∵EM⊥BC,BM平分∠ABC,
∴AM=ME,∠AMN=∠EMN.
又∵MN=MN,
∴△ANM≌△ENM.

(2)证明:∵AB2=AF•AC,
AB
AC
=
AF
AB

又∵∠BAC=∠FAB=90°,
∴△ABF△ACB.
∴∠ABF=∠C.
又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90°,
∴FB是⊙O的切线.

(3)由(1)得AN=EN,AM=EM,∠AMN=∠EMN,
又∵ANME,
∴∠ANM=∠EMN,
∴∠AMN=∠ANM,
∴AN=AM,
∴AM=ME=EN=AN.
∴四边形AMEN是菱形.
∵cos∠ABD=
3
5
,∠ADB=90°,
BD
AB
=
3
5

设BD=3x,则AB=5x,
由勾股定理AD=


(5x)2-(3x)2
=4x;
∵AD=12,
∴x=3,
∴BD=9,AB=15.
∵MB平分∠AME,
∴BE=AB=15,
∴DE=BE-BD=6.
∵NDME,
∴∠BND=∠BME.
又∵∠NBD=∠MBE,
∴△BND△BME.
ND
ME
=
BD
BE

设ME=x,则ND=12-x,
12-x
x
=
9
15
,解得x=
15
2

∴S=ME•DE=
15
2
×6=45.
举一反三
如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的一条割线,且PA=2


3
,BC=2PB,那么PB的长为(  )
A.2B.


6
C.4D.2


6

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已知:如图,AB是⊙O的直径,P是AB上的一点(与A、B不重合),QP⊥AB,垂足为P,直线QA交⊙O于C点,过C点作⊙O的切线交直线QP于点D.则△CDQ是等腰三角形.
对上述命题证明如下:
证明:连接OC
∵OA=OC
∴∠A=∠1
∵CD切O于C点
∴∠OCD=90°
∴∠1+∠2=90°
∴∠A+∠2=90°
在Rt△QPA中,∠QPA=90°
∴∠A+∠Q=90°
∴∠2=∠Q
∴DQ=DC
即CDQ是等腰三角形.
问题:对上述命题,当点P在BA的延长线上时,其他条件不变,如图所示,结论“△CDQ是等腰三角形”还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
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如图,AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G,且ABCD,BO=6cm,CO=8cm.求BC的长.
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如图,AB是⊙O的直径,弦DC交AB于E,过C作⊙O的切线交DB的延长线于M,若AB=4,∠ADC=45°,∠M=75°,则CD的长为(  )
A.


3
B.2C.3


3
D.2


3

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如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,DE=3,连接BD,过点E作EMBD,交BA的延长线于点M.
(1)求⊙O的半径;
(2)求证:EM是⊙O的切线;
(3)若弦DF与直径AB相交于点P,当∠APD=45°时,求图中阴影部分的面积.
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