如图,延长⊙O的半径OA到B,使OA=AB,DE是圆的一条切线,E是切点,过点B作DE的垂线,垂足为点C.求证:∠ACB=13∠OAC.

如图,延长⊙O的半径OA到B,使OA=AB,DE是圆的一条切线,E是切点,过点B作DE的垂线,垂足为点C.求证:∠ACB=13∠OAC.

题型:不详难度:来源:
如图,延长⊙O的半径OA到B,使OA=AB,DE是圆的一条切线,E是切点,过点B作DE的垂线,垂足为点C.
求证:∠ACB=
1
3
∠OAC.
答案
证明:连接OE、AE,并过点A作AF⊥DE于点F,(3分)
∵DE是圆的一条切线,E是切点,
∴OE⊥DC,(1分)
又∵BC⊥DE,
∴OEAFBC.(1分)
∴∠1=∠ACB,∠2=∠3.(1分)
∵OA=OE,
∴∠4=∠3.(1分)
∴∠4=∠2.(1分)
又∵点A是OB的中点,
∴点F是EC的中点.(1分)
∴AE=AC.(1分)
∴∠1=∠2.(1分)
∴∠4=∠2=∠1.(1分)
即∠ACB=
1
3
∠OAC.
举一反三
如图,已知AB、AC分别是⊙O的直径和切线,BC交⊙O于D,AB=8,AC=6,则AD=______.
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在坐标平面内,半径为R的⊙O与x轴交于点D(1,0)、E(5,0),与y轴的正半轴相切于点B.点A、B关于x轴对称,点P(a,0)在x的正半轴上运动,作直线AP,作EH⊥AP于H.
(1)求圆心C的坐标及半径R的值;
(2)△POA和△PHE随点P的运动而变化,若它们全等,求a的值;若给定a=6,试判定直线AP与⊙C的位置关系(要求说明理由).
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如图,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB.
(1)求证:AD⊥DC;
(2)若AD=2,AC=


5
,求AB的长.
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已知圆O的半径为5,AB是圆O的直径,D是AB延长线上一点,DC是圆O的切线,C是切点,连接AC,若∠CAB=30°,则BD的长为______.
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如图,已知PA、PB切⊙O于A、B两点,连AB,且PA,PB的长是方程x2-2mx+3=0的两根,AB=m.试求:
(1)⊙O的半径;
(2)由PA,PB,
AB
围成图形(即阴影部分)的面积.
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