如图,四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,BC=2,以线段BC的中点O为圆心,以OB为半径作圆,连结OA交⊙O于点M(1)若∠ABO=120°,AO是∠BAD

如图,四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,BC=2,以线段BC的中点O为圆心,以OB为半径作圆,连结OA交⊙O于点M(1)若∠ABO=120°,AO是∠BAD

题型:不详难度:来源:
如图,四边形ABCD是等腰梯形,ADBC,BC=2,以线段BC的中点O为圆心,以OB为半径作圆,连结OA交⊙O于点M
(1)若∠ABO=120°,AO是∠BAD的平分线,求
BM
的长;
(2)若点E是线段AD的中点,AE=


3
,OA=2,求证:直线AD与⊙O相切.
答案
(1)∵ADBC,
∴∠EAO=∠AOB,
∵AO是∠BAD的平分线,
∴∠EAO=∠BAO,
∴∠BAO=∠AOB,
∵∠ABC=120°,BC=2,O是BC的中点,
∴∠AOB=∠BAO=30°,OA=OB=1,
BM
的长是
30π×1
180
=
1
6
π;

(2)
证明:连接OD和OE,
∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴∠ABO=∠DCO,
∵O为BC中点,
∴BO=CO,
∵在△ABO和△DCO中





AB=DC
∠ABO=∠DCO
BO=CO

∴△ABO≌△DCO(SAS),
∴AO=OD,
∵E为AD中点,
∴OE⊥AD,
在Rt△AEO中,AE=


3
,AO=2,由勾股定理得:OE=1=BO,
即OE为半径,OE⊥AD,
∴直线AD与⊙O相切.
举一反三
已知PA是⊙O的切线,A为切点,PBC是过点O的割线,PA=10cm,PB=5cm,则⊙O的半径长为(  )
A.15cmB.10cmC.7.5cmD.5cm
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已知:△ABC是边长为4的等边三角形,点O在边AB上,⊙O过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E,EF⊥AC,垂足为F.
(1)求证:直线EF是⊙O的切线;
(2)当直线DF与⊙O相切时,求⊙O的半径.
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如图,P是⊙O外一点,割线POB与⊙O相交于A、B,切线PC与⊙O相切于C,若PA=2,PC=3,求⊙O的半径.
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如图,AB是⊙O的切线,B为切点,AO与⊙O交于点C,若∠BAO=40°,则∠OCB的度数为(  )
A.40°B.50°C.65°D.75°

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如图,直线EF交⊙O于A、B两点,AC是⊙O直径,DE是⊙O的切线,且DE⊥EF,垂足为E.
(1)求证:AD平分∠CAE;
(2)若DE=4cm,AE=2cm,求⊙O的半径.
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