(1)证明:连接OE. ∵△ABC是等边三角形, ∴∠A=∠B=∠C=60°; 在△BOE中,OB=OE,∠B=60°, ∴∠B=∠OEB=∠BOE=60°, ∴∠BOE=∠A=60°, ∴OE∥AC(同位角相等,两直线平行); ∵EF⊥AC, ∴OE⊥EF,即直线EF是⊙O的切线;
(2)连接DF. ∵DF与⊙O相切, ∴∠ADF=90°. 设⊙O的半径是r,则EB=r,EC=4-r,AD=4-2r. 在Rt△ADF中,∠A=60°, ∴AF=2AD=8-4r. ∴FC=4r-4; 在Rt△CEF中,∵∠C=60°,∴EC=2FC, ∴4-r=2(4r-4), 解得,r=; ∴⊙O的半径是. |