如图,在△ABC中,∠C=90°,AC+BC=8,∠ACB的平分线交AB于点O,以O为圆心的⊙O与AC相切于点D.(1)求证:⊙0与BC相切;(2)当AC=2时

如图,在△ABC中,∠C=90°,AC+BC=8,∠ACB的平分线交AB于点O,以O为圆心的⊙O与AC相切于点D.(1)求证:⊙0与BC相切;(2)当AC=2时

题型:不详难度:来源:
如图,在△ABC中,∠C=90°,AC+BC=8,∠ACB的平分线交AB于点O,以O为圆心的⊙O与AC相切于点D.
(1)求证:⊙0与BC相切;
(2)当AC=2时,求⊙O的半径.
答案
(1)过点O作OF⊥BC,垂直为F,连接OD,
∵AC是圆的切线,
∴OD⊥AC,
又OC为∠ACB的平分线,
∴OF=OD,
∴BC与⊙0相切;

(2)由(1)知BC与⊙0相切,
∵D、F为切点,
∴OD⊥AC,OF⊥BC,OD=OF,
S△ABC=S△AOC+S△BOC
=
1
2
AC•BC=
1
2
AC•OD+
1
2
BC•OF
∵AC+BC=8,AC=2,
∴BC=6,
1
2
×2×6=
1
2
×2×OD+
1
2
×6×OF,
而OD=OF.
∴OD=
3
2

即⊙O的半径为
3
2

举一反三
如图:在△ABC中,∠ABC=30°,BC=4


3
,AB=4,以AB长为直径作⊙O交BC于点D.
(1)试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)过点D作DE⊥AC,垂足为点E,求证:直线DE是⊙O的切线.
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如图,已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点,以点O为圆心,OA长为半径的⊙O与BC相切于点E,与AC相交于点D,连接AE.
(1)求证:AE平分∠CAB;
(2)探求图中∠1与∠C的数量关系,并求当AE=EC时tanC的值.
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如图,已知CA、CB都经过点C,AC是⊙B的切线,⊙B交AB于点D,连接CD并延长交OA于点E,连接AF.
(1)求证:AE⊥AB;
(2)求证:DE•DC=2AD•DB;
(3)如果AE=3,BD=4,求DC的长.
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如图,AB是⊙O的直径,AC的中点D在⊙O上,DE⊥BC于E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若CE=3,∠A=30°,求⊙O的半径.
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已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC于点E.求证:DE是⊙O的切线.
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