如图：在△ABC中，∠ABC=30°，BC=43，AB=4，以AB长为直径作⊙O交BC于点D．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）过点D作DE⊥AC，

题型：不详难度：来源：

如图：在△ABC中，∠ABC=30°，BC=4

3

，AB=4，以AB长为直径作⊙O交BC于点D．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线．

答案

（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
如图，连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
又∵∠ABC=30°，AB=4，
∴AD=

1

2

AB=2，
∴BD=

AB2-AD2

=

42-22

=2

3

．
∵BC=4

3

，
∴BD=

1

2

BC，即AD是BC的中垂线，
∴△ABC的等腰三角形；

（2）证明：如图，D作DE⊥AC，垂足为点E，连接OD．
∵AO=BO，CD=BD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD．
∵OD是半径，
∴直线DE是⊙O的切线．