如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如图

题型：广西自治区中考真题难度：来源：

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如图AD=5，AE=4，求⊙O的直径．

答案

（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AD为∠CAB的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
又OA=OD，
∴∠BAD=ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC∥OD，
∴∠E+∠EDO=180°，
又AE∵ED，即∠E=90°，
∴∠EDO=90°，
则OD为圆O的切线；
（2）解：连接BD，如图所示，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，cos∠DAB=，
在Rt△AED中，AE=4，AD=5，
∴cos∠EAD==，
又∠EAD=∠DAB，
∴cos∠DAB=cos∠EAD==，
则AB=AD=，
即圆的直径为．