如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点

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如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G。
（1）求证：点F是BD中点；
（2）求证：CG是⊙O的切线；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径。

答案

解：（1）∵CH⊥AB，DB⊥AB，
∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF，
∴，
∵HE=EC，
∴BF=FD；
（2）连接CB、OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵F是BD中点，
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO，
∴∠OCF=90°，
∴CG是⊙O的切线；
（3）由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，
可证得：FA=FG，且AB=BG，
由切割线定理得：（2+FG）²=BG×AG=2BG²    ①，
在Rt△BGF中，
由勾股定理得：BG²=FG²-BF²　②
由①、②得：FG²-4FG-12=0，
解之得：FG₁=6，FG₂=-2（舍去）
∴AB=BG=，
∴⊙O半径为2。