如图①，直线AM⊥AN，⊙O分别与AM、AN相切于B、C两点，连接OC、BC，则有∠ACB=∠OCB；（请思考：为什么？）如果测得AB=a，则可知⊙O的半径r=

题型：中考真题难度：来源：

如图①，直线AM⊥AN，⊙O分别与AM、AN相切于B、C两点，连接OC、BC，则有∠ACB=∠OCB；（请思考：为什么？）如果测得AB=a，则可知⊙O的半径r=a。（请思考：为什么？）
（1）将图①中直线AN向右平移，与⊙O相交于C₁、C₂两点，⊙O与AM的切点仍记为B，如图②，请你写出与平移前相应的结论，并将图②补充完整；判断此结论是否成立，且说明理由。
（2）在图②中，若只测得AB=a，能否求出⊙O的半径r？若能求出，请你用a表示r；若不能求出，请补充一个条件（补充条件时不能添加辅助线，若补充线段请用b表示，若补充角请用α表示），并用a和补充的条件表示r。

答案

解：（1）图②中相应结论为∠AC₁B=∠OC₁B和∠AC₂B=∠OC₂B
先证∠AC₁B=∠OC₁B
连接OB、OC₁，
∵AM与⊙O相切于B，
∴OB⊥AM；
∵AN⊥AM，
∴OB∥AN，
∴∠AC₁B=∠OBC₁；
∵OB=OC₁，
∴∠OBC₁=∠OC₁B，
∴∠AC₁B=∠OC₁B
同理可证∠AC₂B=∠OC₂B。（2）若只测得AB=a，不能求出⊙O的半径r
补充条件：另测得AC₁=b
作OD⊥C₁C₂，则C₁D=C₂D
∵AB²=AC₁·AC₂，
∴AC₂=
∴C₁C₂=AC₂-AC₁=-b=
∴C₁D=C₁C₂=
故r=OB=AD=AC₁+C₁D=b+=。（答案不唯一）