在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连接DE并延长,与BC的延长线交于点F。(1)求证:BD=BF;(2
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在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连接DE并延长,与BC的延长线交于点F。(1)求证:BD=BF;(2
题型:湖南省中考真题
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在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连接DE并延长,与BC的延长线交于点F。
(1)求证:BD=BF;
(2)若BC=6,AD=4,求⊙O的面积。
答案
解:(1)证明:如图,连接OE
∵AC切⊙O于E,
∴OE⊥AC,
又∠ACB=90°,即BC⊥AC,
∴OE∥BC,
∴∠OED=∠F,
又OD=OE,
∴∠ODE=∠OED,
∴∠ODE=∠F,
∴BD=BF;
(2)设⊙O半径为r,由OE∥BC得
△AOE∽△ABC,
∴
,即
,
∴r
2
-r-12=0,解之得r
1
=4,r
2
=-3(舍去),
∴S
⊙O
=πr
2
=16π。
举一反三
如图,AB为⊙O的直径,D是⊙O上的一点,过O点作AB的垂线交AD于点E,交BD的延长线于点C,F为CE上一点,且FD=FE。
(1)请探究FD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径为2,
,求BC的长。
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如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC=1,BC=2。
(1)如图2,⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X,与边CB相切于点Y,请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O;(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切,设⊙P的面积为s,你认为能否确定s的最大值?若能,请你求出s的最大值;若不能,请你说明不能确定s的最大值的理由。
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如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线于D,且CO=CD,则∠PCA=
[ ]
A.30°
B.45°
C.60°
D.67.5°
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如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线
交于M(x
1
,y
1
)和N(x
2
,y
2
)两点(其中x
1
<0,x
2
<0)。
(1)求b的值;
(2)求x
1
·x
2
的值;
(3)分别过M、N作直线l:y=-1的垂线,垂足分别是M
1
、N
1
,判断△M
1
FN
1
的形状,并证明你的结论;
(4)对于过点F的任意直线MN,是否存在一条定直线m,使m与以MN为直径的圆相切,如果有,请求出这条直线m的解析式;如果没有,请说明理由。
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如图,PA为⊙O的切线,A为切点,过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E。
(1)求证:PB为⊙O的切线;
(2)若tan∠ABE=
,求sin∠E。
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