如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB。（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC=

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如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB。
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BC=AB；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值。

答案

解：（1）∵OA=OC，∴，
又∵，
∴，
又∵AB是的直径，
∴，
∴，
∴∠PCO=90°，即OC⊥CP，
而OC是的半径，∴PC是的切线；（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴BC=OC，∴BC=AB；（3）连接MA，MB，
∵点M是弧AB的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴BM²=MN·MC，
又∵AB是的直径，，
∴，AM=BM，
∴AB=4，∴BM=，
∴MN·MC=BM²=（）²=8。