如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E。（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为

题型：广东省模拟题难度：来源：

如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E。
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长。

答案

解：（1）如图，连接OD，
∵OA=OB，CD =BD，
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠CED，
又∵DE⊥AC，
∴∠CED =90°，
∴∠ODE =90°，
即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；（2）∵OD∥AC，∠BAC =60°，
∴∠BOD=∠BAC=60°，∠C=∠ODB，
又∵OB=OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠C=∠ODB=60°，CD=BD=5，
∵DE⊥AC，
∴DE=CD·sin∠C =5×sin60°=。