如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D。(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)若
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如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D。(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)若
题型:安徽省中考真题
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如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D。
(1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)若DC+DA=6,⊙O的直径为10,求AB的长度。
答案
解:(1)连接OC,因为点C在⊙O上,0A=OC,
所以∠OCA=∠OAC,
因为CD⊥PA,
所以∠CDA=90°,
有∠CAD+∠DCA=90°,
因为AC平分∠PAE,
所以∠DAC=∠CAO,
所以∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°,
又因为点C在⊙O上,OC为⊙0的半径,所以CD为⊙O的切线;
(2)过O作OF⊥AB,垂足为F,
所以∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°,
所以四边形OCDF为矩形,
所以OC=FD,OF=CD,
∵DC+DA=6,
设AD=x,则OF=CD=6-x,
∵⊙O的直径为10,
∴DF=OC=5,
∴AF=5-x,
在Rt△AOF中,
由勾股定理得
,
即
,
化简得
:
解得x=2或x=9,
由AD<DF,知
,
故x=2,
从而AD=2,AF=5-2=3,
∵OF⊥AB,
由垂径定理知,F为AB的中点,
∴AB=2AF=6。
举一反三
已知:如图,在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E。
⑴求证:点D是AB的中点;
⑵判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
⑶若⊙O的直径为18,cosB=
,求DE的长。
题型:贵州省中考真题
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已知AB是⊙O的直径,弦AC平分∠BAD,AD⊥CD于D,BE⊥CD于E。
求证:⑴CD是⊙O的切线;
⑵CD
2
=AD·BE。
题型:四川省中考真题
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已知二次函数
的图象如图。
(1)求它的对称轴与x轴交点D的坐标;
(2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移,设平移后的抛物线与x轴,y轴的交点分别为A、B、C三点,若∠ACB=90°,求此时抛物线的解析式;
(3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为M,以AB为直径,D为圆心作⊙D,试判断直线CM与⊙D的位置关系,并说明理由。
题型:广西自治区中考真题
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如图,△ABC内接于⊙O,CA=CB,CD∥AB且与OA的延长线交于点D。
(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由;
(2)若∠ACB=120°,OA=2,求CD的长。
题型:湖南省中考真题
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如图,点A,B,C,D在⊙O上,AB=AC,AD与BC相交于点E,AE=
ED,延长DB到点F,使FB=
BD,连接AF。
(1)证明:△BDE∽△FDA;
(2)试判断直线AF与⊙O的位置关系,并给出证明。
题型:贵州省中考真题
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