已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E。⑴求证：点D是AB的中点；⑵判断DE与⊙O的位置关系，并证明

题型：贵州省中考真题难度：来源：

已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E。
⑴求证：点D是AB的中点；
⑵判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
⑶若⊙O的直径为18，cosB=，求DE的长。

答案

解：（1）证明：连接CD，则CD⊥AB，
又∵AC=BC，CD=CD，
∴，
∴AD=BD，即点D是AB的中点；
（2）DE是⊙O的切线；
理由是：连接OD，则DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO，即DE是⊙O的切线；
（3）∵AC=BC，
∴∠B=∠A，
∴cos∠B=cos∠A=，
∵cos∠B=，BC=18，
∴BD=6，
∴AD=6，
∵cos∠A=，
∴AE=2，
在Rt△AED中，DE=。