如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE。（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理

题型：福建省模拟题难度：来源：

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE。
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若AD、AB的长是方程x²-10x+24=0的两个根，求直角边BC的长。

答案

解：（1）DE与半圆O相切，
证明： 连结OD、BD，
∵AB是半圆O的直径
∴∠BDA=∠BDC=90°，
∵在Rt△BDC中，E是BC边上的中点，
∴DE=BE，
∴∠EBD=∠BDE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
又∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°，
∴∠ODB+∠EBD=90°，
∴DE与半圆O相切；（2）∵在Rt△ABC中，BD⊥AC，
∴ Rt△ABD∽Rt△ABC，
∴，即AB²=AD·AC，
∴AC=，
∵AD、AB的长是方程x²-10x+24=0的两个根，
∴解方程x²-10x+24=0得： x₁=4，x₂=6，
∵AD＜AB，
∴AD=4，AB=6，
∴AC=9，
在Rt△ABC中，AB=6，AC=9
∴BC=。