如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径.点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D。(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)若

如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径.点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D。(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)若

题型:安徽省中考真题难度:来源:
如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径.点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D。
(1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)若DC+DA=6,⊙O的直径为10,求AB的长度。
答案
解:(1)连接OC,
因为点C在⊙O上,0A=OC,
所以∠OCA=∠OAC,
因为CD⊥PA,
所以∠CDA=90°,
有∠CAD+∠DCA=90°,
因为AC平分∠PAE,
所以∠DAC=∠CAO,
所以∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°,
又因为点C在⊙O上,OC为⊙O的半径,所以CD为⊙O的切线;
(2)过O作0F⊥AB,垂足为F,
所以∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°,
所以四边形OCDF为矩形,
所以OC=FD,OF=CD,
∵DC+DA=6,
设AD=x,则OF=CD=6-x,
∵⊙O的直径为10,
∴DF=OC=5,
∴AF=5-x,
在Rt△AOF中,由勾股定理得

化简得:x2-11x+18=0
解得x=2或x=9,
由AD<DF,知0<x<5,故x=2,
从而AD=2,AF=5-2=3,
∵OF⊥AB,
由垂径定理知,F为AB的中点,
∴AB=2AF=6。
举一反三
如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB。
(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
(2)若AB=5,sin∠CBF=,求BC和BF的长。

题型:北京中考真题难度:| 查看答案
如图,在△ABC中,∠A=90°,O是BC边上一点,以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点,连接OD,已知BD=2,AD=3。
求:(1)tanC;
(2)图中两部分阴影面积的和。
题型:福建省中考真题难度:| 查看答案
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,O、D分别为AB、BC上的点,经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F,且D为的中点。
(1)求证:BC与⊙O相切;
(2)当AD=;∠CAD=30°时,求的长。
题型:福建省中考真题难度:| 查看答案
如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC=1,BC=2。

(1)如图2,⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X,与边CB相切于点Y,请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O;(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切,设⊙P的面积为S,你认为能否确定S的最大值?若能,请你求出S的最大值;若不能,请你说明不能确定S的最大值的理由。


题型:湖北省中考真题难度:| 查看答案
如图,PA与⊙O相切于A点,弦AB⊥OP,垂足为C,OP与⊙O相交于D点,已知OA=2,OP=4。
(1)求∠POA的度数;
(2)计算弦AB的长。
题型:广东省中考真题难度:| 查看答案
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