如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点，经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为的中点。（1）求证：BC与⊙O相切；（

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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点，经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为

的中点。
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）当AD=

；∠CAD=30°时，求

的长。

答案

解：（1）连接OD，则OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA
∵D为

的中点
∴∠OAD=∠CAD
∴∠ODA=∠CAD
∴OD∥AC
又∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，即BC⊥OD
∴BC与⊙O相切；

（2）连接DE，则∠ADE=90°
∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°，
∴∠AOD=120°
在Rt△ADE中，易求AE=4，
∴⊙O的半径r=2
∴

的长

。

举一反三

如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC=1，BC=2。

（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y，请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切，设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由。

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如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于D点，已知OA=2，OP=4。
（1）求∠POA的度数；
（2）计算弦AB的长。