如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC=1,BC=2。(1)如图2,⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X,与边CB相切于点Y,请你在图2中作出并标明⊙O的圆心

如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC=1,BC=2。(1)如图2,⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X,与边CB相切于点Y,请你在图2中作出并标明⊙O的圆心

题型:湖北省中考真题难度:来源:
如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC=1,BC=2。

(1)如图2,⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X,与边CB相切于点Y,请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O;(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切,设⊙P的面积为S,你认为能否确定S的最大值?若能,请你求出S的最大值;若不能,请你说明不能确定S的最大值的理由。


答案
解:(1)“略”;

(2)①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时,由角平分线的性质,动点P是∠ABC的平分线BM上的点,如图1,在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1(不为∠ABC的顶点),
∵OX=BOsin∠ABM,P1Z=BP1sin∠ABM,
当BP1>BO时,P1Z>OX,即P与B的距离越大,⊙P的面积越大,
这时,BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点,
如图2,∵∠BPA>90°,过点P作PE⊥AB,垂足为E,则E在边AB上,
∴以P为圆心、PC为半径作圆,则⊙P与边CB相切于C,与边AB相切于E,即这时的⊙P是符合题意的圆,这时⊙P的面积就是S的最大值,
∵∠A=∠A,∠BCA=∠AEP=90°,
∴Rt△ABC∽Rt△APE,

∵AC=1,BC=2,
∴AB=
设PC=x,则PA=AC-PC=1-x,PC=PE,


②如图3,同理可得:当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时,设PC=y,则

③如图4,同理可得:当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时,设PF=z,则,∴z=
由①,②,③可知:∵>2,∴+2>+1>3,
∵当分子、分母都为正数时,若分子相同,则分母越小,这个分数越大,

∴z>y>x,
∴⊙P的面积S的最大值为


举一反三
如图,PA与⊙O相切于A点,弦AB⊥OP,垂足为C,OP与⊙O相交于D点,已知OA=2,OP=4。
(1)求∠POA的度数;
(2)计算弦AB的长。
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已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D。
(1)以AB边上一点O为圆心,过A、D两点作O(不写作法,保留作图痕迹),再判断直线BC与O的位置关系,并说明理由;
(2)若(1)中的O与AB边的另一个交点为E,AB=6cm,BD=2,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积。(结果保留根号和π)
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已知:如图,锐角△ABC内接于⊙O,∠ABC=45°;点D是上一点,过点D的切线DE交AC的延长线于点E,且DE∥BC;连结AD、BD、BE,AD的垂线AF与DC的延长线交于点F。
(1)求证:△ABD∽△ADE;
(2)记△DAF、△BAE的面积分别为S△DAF、S△BAE,求证:S△DAF>S△BAE
题型:广东省中考真题难度:| 查看答案
如图,△ABC内接于⊙O,CA=CB,CD∥AB且与OA的延长线交与点D。
(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由;
(2)若∠ACB=120°,OA=2,求CD的长。
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如图,将△ABC的顶点A放在⊙O上,现从AC与⊙O相切于点A(如图1)的位置开始,将△ABC绕着点A顺时针旋转,设旋转角为(0°<α<120°),旋转后AC,AB分别与⊙O交于点E,F,连接EF(如图2),已知∠BAC=60°,∠C=90°,AC=8,⊙O的直径为8。
(1)在旋转过程中,有以下几个量:①弦EF的长;②的长;③∠AFE的度数;④点O到EF的距离,其中不变的量是_______(填序号);
(2)当BC与⊙O相切时,请直接写出α的值,并求此时△AEF的面积。
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