如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E，求证： （1）AC是⊙O的切线；（2）若AD∶DB=3∶2，AC=15，求⊙O的直径。

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如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E，求证：
（1）AC是⊙O的切线；
（2）若AD∶DB=3∶2，AC=15，求⊙O的直径。

答案

（1）证明：连结OD、DC，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
在Rt△ADC中，∵AE=EC，
∴DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠EDC=∠B=∠ECD，
∵∠B+∠DCB=90°，
∴AC是⊙O的切线。
（2）解：设每一份为k，则AD=3k，DB=2k，AB=5k，
∵AC是⊙O的切线，ADB是割线，
∴AC²=AD×AB，即3k×5k=15²，解得k=，
∴AB=5，
在Rt△ACB中，BC=，
即⊙O的直径是。