如图,⊙O1与⊙O2外切于点P,AB是两圆外公切线,A、B为切点,AB与O1O2的延长线交于C点,在AP延长线上有一点E,满足APAB=ACAE,PE交⊙O2于

如图,⊙O1与⊙O2外切于点P,AB是两圆外公切线,A、B为切点,AB与O1O2的延长线交于C点,在AP延长线上有一点E,满足APAB=ACAE,PE交⊙O2于

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如图,⊙O1与⊙O2外切于点P,AB是两圆外公切线,A、B为切点,AB与O1O2的延长线交于C点,在AP延长线上有一点E,满足
AP
AB
=
AC
AE
,PE交⊙O2于D.
(1)求证:AC⊥EC;
(2)求证:PC=EC;
(3)若AP=4,PD=
9
4
,求
BC
EC
的值.
答案
(1)证明:连接PB,OA,OB,
∵AB为公切线
∴∠1=
1
2
∠O1,∠2=
1
2
∠PO2B
∵O1AO2B
∴∠O1+∠PO2B=180°
∴∠1+∠2=90°
∴∠APB=90°
AP
AB
=
AC
AE
,∠1=∠1
∴△APB△ACE
∴∠ACE=∠APB=90°
∴AC⊥EC;

(2)证明:∵BP⊥AE于P
∴∠3+∠4=90°
∵AB为公切线
∴O2B⊥AB于B
∴∠2+∠5=90°
又∵O2P=O2B
∴∠4=∠5
∴∠2=∠3
由(1)知△APB△ACE
∴∠E=∠2
∴∠3=∠E
∴PC=EC;

(3)作内公切线PH,交AB于H,
∴AH=PH=HB
∴∠APB=90°
∴∠DPB=90°
∴DB为⊙O直径
∴DB⊥AB于B
∴Rt△ABD中,BP为斜边AD上的高
∴PB2=AP•DP=4×
9
4

∴PB=3
∵∠DBC=∠APB=90°,∠4=∠5
∴∠DBC+∠5=∠APB+∠C
∴∠PBC=∠APC
又∵∠6=∠6
∴△PBC△APC
BC
PC
=
PB
AP
=
3
4

又∵PC=EC
BC
EC
=
3
4

举一反三
已知:如图,A是⊙O1、⊙O2的一个交点,点M是O1O2的中点,过点A的直线BC垂直于MA,分别交⊙O1、⊙O2于B、C.
(1)求证:AB=AC;
(2)若O1A切⊙O2于点A,弦AB、AC的弦心距分别为dl、d2,求证:d1+d2=O1O2
(3)在(2)条件下,若d1d2=1,设⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r,求证:R2+r2=
(R2+r2)2
R2r2

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已知:如图,⊙O1与⊙O2相交于点A和点B,且点O1在⊙O2上,过点A的直线CD分别与⊙O1、⊙O2交于点C、D,过点B的直线EF分别与⊙O1、⊙O2交于点E、F,⊙O2的弦O1D交AB于P.
求证:(1)CEDF;
(2)O1A2=O1P•O1D.
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如图,在内切的两圆中,设C为小圆的圆心,O为大圆的圆心,P为切点,⊙O的弦PQ和⊙C相交于R,过点R作⊙C的切线与⊙O交于A、B两点,求证:Q是弧AB的中点.
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如图,⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,且⊙O1的圆心在⊙O2上,D、C分别是⊙O1和⊙O2上的点,连AD、BD、AC、BC,若∠D=110°,则∠C为______.
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在同一平面内,两圆的半径分别为方程(x-1)(x-


2
)=0
的两个不同实数根,两圆圆心距为2-


2
,则两圆的位置关系是______.
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