如图,⊙O1与⊙O2内切于点P,过P的直线交⊙O1于A,交⊙O2于B,AC切⊙O2于C,交⊙O1于D,且PB、PD的长恰好是关于x的方程x2-m+16x+4=0
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如图,⊙O1与⊙O2内切于点P,过P的直线交⊙O1于A,交⊙O2于B,AC切⊙O2于C,交⊙O1于D,且PB、PD的长恰好是关于x的方程x2-m+16x+4=0
题型:不详
难度:
来源:
如图,⊙O
1
与⊙O
2
内切于点P,过P的直线交⊙O
1
于A,交⊙O
2
于B,AC切⊙O
2
于C,交⊙
O
1
于D,且PB、PD的长恰好是关于x的方程
x
2
-
m+16
x+4=0
的两个根.
(1)求证:∠1=∠2;
(2)求PC的长;
(3)若弧BP=弧BC,且S
△PBC
:S
△APC
=1:k,求代数式m(k
2
-k)的值.
答案
(1)证明:过P作两圆的公切线MN,则有:
∠MPA=∠PCB=∠D;
又∵AD是⊙O
2
的切线,
∴∠PCD=∠PBC,
∴△PBC
∽
△PCD,
∴∠1=∠2.
(2)由(1)知:△PBC
∽
△PCD,得:
PB:PC=PC:PD,即PC
2
=PB•PD;
∵PB、PD的长是关于x的方程
x
2
-
m+16
x+4=0
的两个根,
∴PB•PD=4,
∴PC
2
=4,即PC=2.
(3)∵S
△PBC
:S
△APC
=1:k,
∴AP:BP=k:1,即AB:AP=(k-1):1;
∵
BP
=
BC
,
∴∠1=∠BCP,BP=BC;
又∵∠1=∠2,
∴∠2=∠BCP;
∴BC
∥
PD,
∴△ABC
∽
△APD,
∴
BC
PD
=
AB
AP
,即
BP
PD
=
AB
AP
;
∴
BP
PD
=
k-1
k
,即PB=
k-1
k
PD,
又∵PB+PD=
m+16
,
∴PB=
(k-1)
m+16
2k-1
,PD=
k
m+16
2k-1
;
∵PB•PD=4,即:
(k-1)
m+16
2k-1
×
k
m+16
2k-1
=4,
化简得:k(k-1)(m+16)=4(2k-1)2,即:
(m+16)k
2
-(m+16)k=16k
2
-16k+4,
mk
2
-mk=4,即m(k
2
-k)=4.
举一反三
已知:⊙O
1
与⊙O
2
相交于点A、B,过点B作CD⊥AB,分别交⊙O
1
和⊙O
2
于点C、D.
(1)如图,求证:AC是⊙O
1
的直径;
(2)若AC=AD,
①如图,连接BO
2
、O
1
O
2
,求证:四边形O
1
CBO
2
是平行四边形;
②若点O
1
在⊙O
2
外,延长O
2
O
1
交⊙O
1
于点M,在劣弧
MB
上任取一点E(点E与点B不重合),EB的延长线交优弧
BDA
于点F,如图所示,连接AE、AF,则AE______AB(请在横线上填上“≥、≤、<、>”这四个不等号中的一个)并加以证明.(友情提示:结论要填在答题卡相应的位置上)
题型:不详
难度:
|
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⊙O
1
和⊙O
2
内切于A,且⊙O
1
经过点O
2
,半径O
2
B交⊙O
1
于C,则
AB
与
AC
的关系是( )
A.
AC
=
AB
B.
AB
与
AC
的长度相等
C.
AB
和
AC
的长度不等
D.无法判断
题型:不详
难度:
|
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已知⊙O
1
和⊙O
2
的半径分别为2cm和5cm,两圆的圆心距是3.5cm,则两圆的位置关系是( )
A.内含
B.外离
C.内切
D.相交
题型:不详
难度:
|
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宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案,给出了如下几种初步方案,供继续设计选用(设图中圆的半径均为r)
(1)如图1,分别以线段O
1
O
2
的两个端点为圆心,以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案,试求两圆相交部分的面积;
(2)如图2,分别以等边△O
1
O
2
O
3
的三个顶点为圆心,以其边长为半径,作出三个两两相交的相同的圆,这时,这三个圆相交部分的面积又是多少呢?
(3)如图3,分别以正方形O
1
O
2
O
3
O
4
的四个顶点为圆心,以其边长为半径,作出四个相同的圆,这时,这四个圆相交部分的面积又是多少呢?
题型:不详
难度:
|
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如图,在同一平面上有两个大小相同的圆,其中⊙O
1
固定不动,⊙O
2
在其外围相切滚动一周,则⊙O
2
自转( )周.
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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