一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个

题型：专项题难度：来源：

一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：
（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？
（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？

答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由。（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）

答案

解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置
安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形
的对角线长为，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，
故安装4个这种装置可以达到预设的要求。（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE=DG=CG，
将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，
设AE=x，则ED=30-x，DH=15，
由BE=DG，得，
∴，
∴，
即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求；
 要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点，
如图3，用一个直径为31的⊙O去覆盖边长为30的正方形ABCD，
设⊙O经过A，B，⊙O与AD交于E，
连结BE，则，
这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形ABCD。
所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求。