如图1,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向
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如图1,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向
题型:不详
难度:
来源:
如图1,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD.
(1)求直线AB的解析式;
(2)当点P运动到点(
,0)时,求此时DP的长及点D的坐标;
(3)是否存在点P,使△OPD的面积等于
?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)直线AB的解析式是
;(2)DP=
,点D的坐标为(
,
);
存在,点P的坐标分别为P
1
(
,0)、P
2
(
,0)、P
3
(
,0)、P
4
(
,0)
解析
试题分析:(1)过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F.依题意得BF=OE=2,利用勾股定理求出OF,然后可得点B的坐标.设直线AB的解析式是y=kx+b,把已知坐标代入可求解.
(2)由△ABD由△AOP旋转得到,△ABD≌△AOP,AP=AD,∠DAB=∠PAO,∠DAP=∠BAO=60°,△ADP是等边三角形,利用勾股定理求出DP.在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°.利用三角函数求出BG=BD•cos60°,DG=BD•sin60°.然后求出OH,DH,然后求出点D的坐标.
(3)分三种情况进行讨论:
①当P在x轴正半轴上时,即t>0时;②当P在x轴负半轴,但D在x轴上方时;即
<t≤0时
③当P在x轴负半轴,D在x轴下方时,即t≤
时.
综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值.
试题解析:
(1)如答图1,过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F.
由已知得:BF=OE=2,∴
.
∴点B的坐标是(
,2).
设直线AB的解析式是y=kx+b(k≠0),则有
,解得
.
∴直线AB的解析式是
.
(2)∵△ABD由△AOP旋转得到,
∴△ABD≌△AOP.∴AP=AD,∠DAB=∠PAO.
∴∠DAP=∠BAO=60°.∴△ADP是等边三角形.
∴
.
如答图2,过点D作DH⊥x轴于点H,延长EB交DH于点G,则BG⊥DH.
在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°,
∴BG=BD•cos60°=
.DG=BD•sin60°=
.
∴OH=EG=
,DH=
.
∴点D的坐标为(
,
).
(3)存在.
假设存在点P,在它的运动过程中,使△OPD的面积等于
.
设点P为(t,0),下面分三种情况讨论:
①当t>0时,如答图2,BD=OP=t,DG=
t,∴DH=2+
t.
∵△OPD的面积等于
,∴
,
解得
(舍去).
∴点P
1
的坐标为(
,0).
②∵当D在x轴上时,如答图3,
根据锐角三角函数求出BD=OP=
,
∴当
<t≤0时,如答图1,BD=OP=﹣t,DG=
t,
∴GH=BF=2﹣(
t)=2+
t.
∵△OPD的面积等于
,∴
,解得
.
∴点P
2
的坐标为(
,0),点P
3
的坐标为(
,0).
③当t≤
时,如答图4,BD=OP=﹣t,DG=
t,
∴DH=
t﹣2.
∵△OPD的面积等于
,
∴
,解得
(舍去).
∴点P
4
的坐标为(
,0).
综上所述,点P的坐标分别为P
1
(
,0)、P
2
(
,0)、P
3
(
,0)、P
4
(
,0).
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(
,3)和
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B.
C.-
D.1
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0
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B.3
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