如图,已知正方形在直角坐标系中,点分别在轴、轴的正半轴上,点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点,分别在上,且将三角板绕点逆时针旋转至的位置,连结(1)求

如图,已知正方形在直角坐标系中,点分别在轴、轴的正半轴上,点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点,分别在上,且将三角板绕点逆时针旋转至的位置,连结(1)求

题型:不详难度:来源:
如图,已知正方形在直角坐标系中,点分别在轴、轴的正半轴上,点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点,分别在上,且将三角板点逆时针旋转至的位置,连结

(1)求证:
(2)若三角板点逆时针旋转一周,是否存在某一位置,使得若存在,请求出此时点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)证明见解析(2)存在,
解析
(1)证明:∵四边形为正方形,∴
∵三角板是等腰直角三角形,∴
又三角板点逆时针旋转至的位置时,
···························· 3分
(2)存在.································· 4分


∴过点平行的直线有且只有一条,并与垂直,
又当三角板点逆时针旋转一周时,则点在以为圆心,以为半径的圆上,
························ 5分
∴过点垂直的直线必是圆的切线,又点是圆外一点,过点与圆相切的直线有且只有2条,不妨设为
此时,点分别在点和点,满足
·························· 7分
当切点在第二象限时,点在第一象限,
在直角三角形中,


∴点的横坐标为:
的纵坐标为:
∴点的坐标为··························· 9分
当切点在第一象限时,点在第四象限,
同理可求:点的坐标为
综上所述,三角板点逆时针旋转一周,存在两个位置,使得此时点的坐标为································ 11分
(1)根据旋转的性质找到相等的线段,根据SAS定理证明;
(2)由于△OEF是等腰Rt△,若OE∥CF,那么CF必与OF垂直;在旋转过程中,E、F的轨迹是以O为圆心,OE(或OF)长为半径的圆,若CF⊥OF,那么CF必为⊙O的切线,且切点为F;可过C作⊙O的切线,那么这两个切点都符合F点的要求,因此对应的E点也有两个;在Rt△OFC中,OF=2,OC=OA=4,可证得∠FCO=30°,即∠EOC=30°,已知了OE的长,通过解直角三角形,不难得到E点的坐标,由此得解.
举一反三
如图,两个全等的长方形,旋转长方形能和长方形重合,则可以作为旋转中心的点有(   )
A.1个B.2个C.3个D.无数个

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下列几何图形中,一定是轴对称图形的有(  )
A.2个B.3个C.4个D.5个

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如图所示,①中多边形(边数为12)是由正三角形“扩展”而来的,②中多边形是由正方形“扩展”而来的,,依此类推,则由正边形“扩展”而来的多边形的边数为 
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下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A.正六边形B.正五边形C.平行四边形D.等腰三角形

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下面每个图是由若干个圆点组成的形如四边形的图案,当每条边(包括顶点)上有n(n≥2)个圆点时,图案的圆点数为Sn,按此规律推算Sn 关于n的关系式为:__________________.
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