如图(1),在矩形ABCD中,把∠B、∠D分别翻折,使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处,折痕分别为CM、AN,(1)求证:△ADN≌△CBM;(2)请连

如图(1),在矩形ABCD中,把∠B、∠D分别翻折,使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处,折痕分别为CM、AN,(1)求证:△ADN≌△CBM;(2)请连

题型:不详难度:来源:
如图(1),在矩形ABCD中,把∠B、∠D分别翻折,使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处,折痕分别为CM、AN,
(1)求证:△ADN≌△CBM;
(2)请连接MF、NE,证明四边形MFNE是平行四边形;四边形MFNE是菱形吗?请说明理由;
(3)点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点,连接PQ、CQ、MN,如图(2)所示,若PQ=CQ,PQMN,且AB=4cm,BC=3cm,求PC的长度.
答案
(1)证明:由折叠的性质得出∠DAN=∠NAC,∠BCM=∠ACM,
∵ADBC,
∴∠DAC=∠BCA,
∴∠DAN=∠BCM,
在Rt△ADN和Rt△CBM中,





AD=BC
∠D=∠B=90°
∠DAN=∠BCM

∴△ADN≌△CBM,

(2)连接NE、MF,
∵△ADN≌△CBM,
∴NF=ME,
∵∠NFE=∠MEF,
∴NFME,
∴四边形MFNE是平行四边形,
∵MN与EF不垂直,
∴四边形MFNE不是菱形;

(3)设AC与MN的交点为O,EF=x,作QG⊥PC于G点,
∵AB=4,BC=3,
∴AC=5,
∵AF=CE=BC=3,
∴2AF-EF=AC,即6-x=5,
解得x=1,
∴EF=1,
∴CF=2,
在Rt△CFN中,tan∠DCA=
NF
CF
=
BC
AB
=
3
4

解得NF=
3
2

∵OE=OF=
1
2
EF=
1
2

∴在Rt△NFO中,ON2=OF2+NF2
∴ON=


10
2

∴MN=2ON=


10

∵PQMN,PNMQ,
∴四边形MQPN是平行四边形,
∴MN=PQ=


10

∵PQ=CQ,
∴△PQC是等腰三角形,
∴PG=CG,
在Rt△QPG中,
PG2=PQ2-QG2,即PG=


10-9
=1,
∴PC=2PG=2.
举一反三
王红在电脑中用英文写个人简历时,把其中一句倒排成:则正确的英文为______.
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如图,写出△ABC的各顶点坐标,并画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,写出△ABC关于X轴对称的△A2B2C2的各点坐标.
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如图,△ABC与△A1B1C1关于某条直线成轴对称,则∠A1=______度.
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如图,在长方形ABCD中,DC=5cm,在DC上存在一点E,沿直线AE把△AED折叠,使点D恰好落在BC边上,设此点为F,若△ABF的面积为30cm2,求折叠△AED的面积.
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(1)如图1,消退点E为BC中点时,线段AB、AG、GD之间具有怎样的数量关系?并给出证明;
(2)如图2,当BE:EC=3:1时,上问中的结论是否改变?写出证明过程;
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