已知如图，△ABC是等边三角形，P是三角形外的一点，且∠ABP+∠ACP=180°．求证：AP平分∠BPC．

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已知如图，△ABC是等边三角形，P是三角形外的一点，且∠ABP+∠ACP=180°．
求证：AP平分∠BPC．

答案

把△APC以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到△ABP"
所以△APC≌△ABP"
∴∠APC=∠AP"B ,AP"=AP
∠ACP=∠ABP"
∵∠ABP+∠ACP=180°
∴∠ABP+∠ABP"=180°即P"BP为直线
又∵ AP"=AP
∠AP’B=∠APB
∴∠APB=∠APC
即AP平分∠BPC

解析

利用旋转构造全等三角形和等腰三角形△APP"即可

举一反三

如图，轴对称图形有（）

A．1个　

B．2个

C．3个

D．4个

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已知：如图，直角坐标系中线段

的端点坐标分别是

，

，线段

关于直线

的对称线段为

，且

（1）在坐标系中作出对称轴直线

（2）作出线段

，并写出点

的坐标为

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如图，在平面直角坐标系

中，

，

．

(1)

的面积是____________．
(2)作出

关于

轴的对称图形

．
(3)写出点

的坐标．

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请尝试解决以下问题：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，

由旋转可得：AB="AD,BG=DE," ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠_________．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌_______．
∴_________=EF，故DE+BF=EF．
（2）运用（1）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一点，且∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的长．

（3）类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)，在旋转过程中，等式BD

+CE

=DE

始终成立，请说明理由．

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如图线段AB=8，P是m上的一个动点，m∥AB,AB与m间的距离为3，PA+PB的最小值为．

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