(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABE=∠BCF=90°,AB=BC。∴∠ABF+∠CBF=90°。 ∵AE⊥BF,∴∠ABF+∠BAE=90°。∴∠BAE=∠CBF。 在△ABE和△BCF中,∵∠ABE=∠BCF,AB=BC,∠BAE=∠CBF, ∴△ABE≌△BCF(ASA)。 (2)解:∵正方形面积为3,∴AB=。 在△BGE与△ABE中,∵∠GBE=∠BAE,∠EGB=∠EBA=90°,∴△BGE∽△ABE。 ∴。 又∵BE=1,∴AE2=AB2+BE2=3+1=4。 ∴。 (3)解:没有变化。理由如下: ∵AB=,BE=1,∴。∴∠BAE=30°。 ∵AB′=AD,∠AB′E′=∠ADE"=90°,AE′= AE′,∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′, ∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°。 ∴AB′与AE在同一直线上,即BF与AB′的交点是G。 设BF与AE′的交点为H, 则∠BAG=∠HAG=30°,而∠AGB=∠AGH=90°,AG= AG,∴△BAG≌△HAG。 ∴。 ∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化。 (1)由四边形ABCD是正方形,可得∠ABE=∠BCF=90°,AB=BC,又由AE⊥BF,由同角的余角相等,即可证得∠BAE=∠CBF,然后利用ASA,即可判定:△ABE≌△BCF。 (2)由正方形ABCD的面积等于3,即可求得此正方形的边长,由在△BGE与△ABE中,∠GBE=∠BAE,∠EGB=∠EBA=90°,可证得△BGE∽△ABE,由相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得答案。 (3)由正切函数,求得∠BAE=30°,易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′,可得AB′与AE在同一直线上,即BF与AB′的交点是G,然后设BF与AE′的交点为H,可证得△BAG≌△HAG,从而证得结论 |