如图，点的坐标分别为，将绕点按逆时针方向旋转得到．小题1:画出旋转后的，并写出点的坐标；小题2:求在旋转过程中，点所经过的路径的长度．（结果保留）

题型：不详难度：来源：

如图，点

的坐标分别为

，将

绕点

按逆时针方向旋转

得到

．
小题1:画出旋转后的

，并写出点

的坐标；
小题2:求在旋转过程中，点

所经过的路径

的长度．（结果保留

）

答案

小题1:如图△OA′B′为所示，点B′的坐标为（2，3）
小题2:△OAB绕点O逆时针旋转90°后得△OA′B′，
点A所经过的路径

是圆心角为90°，半径为3的扇形OAA′的弧长，
所以l=

×（2π×3）=

π．（7分）
即点A所经过的路径

的长度为

π．（8分）

解析

（1）按要求画即可，其中旋转90度是关键．
（2）根据弧长公式计算即可．

举一反三

如图，在平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，点P为边AB上一点，∠CPB=

，沿CP折叠正方形折叠后，点B落在平面内

处,则

的坐标为（）

A．

B．

C．

D．

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七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：
如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．

图2

图1

我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB＇．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB＇，与直线l的交点，就是要求的点P．
有很多问题都可用类似的方法去思考解决．
探究：
小题1:如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点， P是BD上一动点．连结EP，CP，则EP+CP的最小值是________；

运用：
小题2:如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是；
操作：
小题3:如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）

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在图形的全等变换中，有旋转变换，翻折（轴对称）变换和平移变换．一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．

（1）第一小组的同学发现，在如图1－1的矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，Rt△ADC可以由Rt△ABC经过一种变换得到，请你写出这种变换的过程 ▲ ．
（2）第二小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图2－1）；再沿GC折叠，使点B落在EF上的点B"处（如图2－2），这样能得到∠B"GC的大小，你知道∠B"GC的大小是多少吗？请写出求解过程．

（3）第三小组的同学，在一个矩形纸片上按照图3－1的方式剪下△ABC，其中BA＝BC，将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换，每次均移动AC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如图3－2．已知AH＝AI，判断以AD、AF和AH为三边能否构成三角形？若能构成，请判断这个三角形的形状，若不能构成，请说明理由．

（4）探究活动结束后，老师给大家留下了一道探究题:如图4－1，已知AA"＝BB"＝CC"＝4，∠AOB"＝∠BOC"＝∠COA"＝60°，请利用图形变换探究S_△AOB_"＋S_△BOC_"＋S_△COA_"与

的大小关系．

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如图1， E是等腰Rt△ABC边AC上的一个动点(点E与A、C不重合)，以CE为一边在Rt△ABC作等腰Rt△CDE，连结AD， BE．我们探究下列图中线段AD，、线段BE 的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的等腰Rt△CDE绕着点C按顺时针方向旋转任意角度

，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中等腰直角三角形改为直角三角形（如图4—6），且AC=a，BC=b，CD=ka， CE="kb" (a

b，k

0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结BD、AE，且a=4，b=3，k=

，求BD²+AE²的值．

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△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，直线l经过点（-1，0），并且与y轴平行．

小题1:①将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°得到△A₁B₁C₁，在图中画出△A₁B₁C₁；
②求出由点C运动到点C₁所经过的路径的长．
小题2:①△A₂B₂C₂与△ABC关于直线l对称，画出△A₂B₂C₂，并写出△A₂B₂C₂三个顶点的
坐标；②观察△ABC与△A₂B₂C₂对应点坐标之间的关系，写出直角坐标系中任意一点P（a，b）
关于直线l的对称点的坐标：__________．

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