在图形的全等变换中,有旋转变换,翻折(轴对称)变换和平移变换.一次数学活动课上,老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动.(1)第一小组的同学发现,在如图1-
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在图形的全等变换中,有旋转变换,翻折(轴对称)变换和平移变换.一次数学活动课上,老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动.(1)第一小组的同学发现,在如图1-
题型:不详
难度:
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在图形的全等变换中,有旋转变换,翻折(轴对称)变换和平移变换.一次数学活动课上,老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动.
(1)第一小组的同学发现,在如图1-1的矩形
ABCD
中,
AC
、
BD
相交于点
O
,Rt△
ADC
可以由Rt△
ABC
经过一种变换得到,请你写出这种变换的过程
▲
.
(2)第二小组同学将矩形纸片
ABCD
按如下顺序进行操作:对折、展平,得折痕
EF
(如图2-1);再沿
GC
折叠,使点
B
落在
EF
上的点
B"
处(如图2-2),这样能得到∠
B"GC
的大小,你知道∠
B"GC
的大小是多少吗?请写出求解过程.
(3)第三小组的同学,在一个矩形纸片上按照图3-1的方式剪下△
ABC
,其中
BA
=
BC
,将△
ABC
沿着直线
AC
的方向依次进行平移变换,每次均移动
AC
的长度,得到了△
CDE
、△
EFG
和△
GHI
,如图3-2.已知AH=AI,判断以
AD
、
AF
和
AH
为三边能否构成三角形?若能构成,请判断这个三角形的形状,若不能构成,请说明理由.
(4)探究活动结束后,老师给大家留下了一道探究题:如图4-1,已知
AA"
=
BB"
=
CC"
=4,∠
AOB
"
=∠
BOC
"
=∠
COA
"
=60°,请利用图形变换探究S
△
AOB
"
+S
△
BOC
"
+S
△
COA
"
与
的大小关系.
答案
(1)将△
ABC
绕点
O
旋转180°(2)60°,理由见解析(3)能够构成三角形,理由见解析(4)
S
△
AOB
"
+
S
△
B
"PR
+
S
△
PQA
<
解析
解:(1)将△
ABC
绕点
O
旋转180°后可得到△
ADC
…………………………2分
(缺旋转中心或旋转角各扣1分)
(2)连接
BB"
,由题意得
EF
垂直平分
BC
,故
BB"
=
B"C
,由翻折可得,
B"C
=
BC
,∴△
BB"
C为等边三角形.∴∠
B"CB
=60°,
(或由三角函数
FC
:
B
"C
=1:2求出∠
B"CB
=60°也可以.)
∴∠
B"CG
=30°,∴∠
B"GC
=60°………………………………………5分
(3)能够构成三角形……………………………………………………………6分
分别取
CE
、
EG
、
GI
的中点
P
、
Q
、
R
,连接
DP
、
FQ
、
HR
、
AD
、
AF
、
AH
,∵△
ABC
中,
BA
=
BC
,根据平移变换的性质,△
CDE
、△
EFG
和△
GHI
都是等腰三角形,∴
DP
⊥
CE
,
FQ
⊥
EG
,
HR
⊥
GI
.
在Rt△
AHR
中,
AH
=
AI
=4
a
,
AH
2
=
HR
2
+
AR
2
,
HR
2
=
a
2
,
则
DP
2
=
FQ
2
=
HR
2
=
a
2
,
AD
2
=
AP
2
+
DP
2
=6
a
2
,
AF
2
=
AQ
2
+
FQ
2
=10
a
2
,
新三角形三边长为4
a
、
a
、
a
.
∵
AH
2
=
AD
2
+
AF
2
∴新三角形为直角三角形.………………………8分
(或通过转换得新三角形三边就是
AD
、
DI
、
AI
)
(4)将△
BOC"
沿
BB"
方向平移2个单位,所移成的三角形记为△
B"PR
,将△
COA"沿A"A
方向平移2个单位,所移成的三角形记为△
AQR
.由于
OQ
=
OA
+
AQ
=
OA
+
OA"
=
AA"
=4,
OP
=
OB"
+
B"P
=
OB"
+
OB
=
BB"
=4.又∠
QOP
=60°,则
PQ
=
OQ
=
OP
=4,
又因为
QR
+
PR
=
OC
+
OC"
,故
O
、
R
、
P
三点共线.因为
S
△
QOP
=4
,所以
S
△
AOB
"
+
S
△
BOC
"
+
S
△
COA
"
=
S
△
AOB
"
+
S
△
B
"PR
+
S
△
PQA
<
…………………… …………10分
根据旋转的性质和平移变换的性质求解
举一反三
如图1, E是等腰Rt△ABC边AC上的一个动点(点E与A、C不重合),以CE为一边在Rt△ABC作等腰Rt△CDE,连结AD, BE.我们探究下列图中线段AD,、线段BE 的长度关系及所在直线的位置关系:
(1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系;②将图1中的等腰Rt△CDE绕着点C按顺时针方向旋转任意角度
,得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断.
(2)将原题中等腰直角三角形改为直角三角形(如图4—6),且AC=a,BC=b,CD=ka, CE="kb" (a
b,k
0),第(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图5为例简要说明理由.
(3)在第(2)题图5中,连结BD、AE,且a=4,b=3,k=
,求BD
2
+AE
2
的值.
题型:不详
难度:
|
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△ABC在直角坐标系中的位置如图所示,直线l经过点(-1,0),并且与y轴平行.
小题1:①将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°得到△A
1
B
1
C
1
,在图中画出△A
1
B
1
C
1
;
②求出由点C运动到点C
1
所经过的路径的长.
小题2:①△A
2
B
2
C
2
与△ABC关于直线l对称,画出△A
2
B
2
C
2
,并写出△A
2
B
2
C
2
三个顶点的
坐标;②观察△ABC与△A
2
B
2
C
2
对应点坐标之间的关系,写出直角坐标系中任意一点P(a,b)
关于直线l的对称点的坐标:
__________
.
题型:不详
难度:
|
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如图①,将一张直角三角形纸片ABC折叠,使点A与点C重合,这时DE为折痕,△CBE为等腰三角形,再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠,这时得到了两个完全重合的矩形(其中一个是原三角形的内接矩形,另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形),我们称这样的两个矩形为“叠加矩形”.请完成下列问题:
小题1:如图②,正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗?如能,请在图②中画出折痕;
小题2:如图③,在正方形网格中,以给定的BC为一边,画出一个斜△ABC,使其顶点A在格点上,且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形;
小题3:如果一个三角形所折成的“叠加矩形” 为正方形,那么它必须满足的条件是
.
题型:不详
难度:
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如图,∠AOB=60°,点P在∠AOB的角平分线上,OP=10cm,点E、F是∠AOB两边OA,OB上的动点,当△PEF的周长最小时,点P到EF距离是 ( )
A.10cm
B.5cm
C.
D.
题型:不详
难度:
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如图,△
OAB
绕点
O
逆时针旋转80
o
得到△
OCD
,若∠
A
=110
o
,∠
D
=40
o
,则∠
的度数
是___________.
题型:不详
难度:
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