已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E，F在斜边AB上，且∠ECF=45°．求证：AE2+BF2=EF2．

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已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E，F在斜边AB上，且∠ECF=45°．求证：AE²+BF²=EF²．

答案

证明：把△CBF绕点A顺时针旋转90°，得到△ACP．连接EP．
则△CBF≌△CAP．
∴BF=AP，CF=CP，∠CBF=∠CAP=45°．
∵∠ACB=90°，∠PCF=90°．
∴∠PCE=∠ECF=45°，
在△PCE和△FCE中，

CP=CF

∠PCE=∠FCE

CE=CE

，
∴△PCE≌△FCE（SAS）．
∴EF=EP，
又∵∠PAE=45°+45°=90°，
∴AE²+AP²=EP²，
即AE²+BF²=EF²．

举一反三

如图，点D是等边△ABC内的一点，如果△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，那么旋转了______度．

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如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，∠BCD=45°，将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE，CE，则△ADE的面积是______．

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在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到Rt△A₁B₁C．
（1）如图1，若连接AA₁，BB₁，则

BB1

AA1

的值为______；
（2）如图2，连接AB₁、BA₁，判断S_△ACB1与S△A1CB的大小关系，并说明你的理由；
（3）如图3，设AB的中点为O，A₁B₁的中点为P，当θ=______时，OP⊥A₁C．

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如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为______．

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如图，将△ABC绕点C顺时针旋转40°得△A′B′C，若AC⊥A′B′，则∠BAC等于（　　）

A．50°

B．60°

C．70°

D．80°

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