在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角(0°<<90°)得△A1BCl,A1B交AC于点E,A1C1分别交A

在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角(0°<<90°)得△A1BCl,A1B交AC于点E,A1C1分别交A

题型:专项题难度:来源:
在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角(0°<<90°)得△A1BCl,A1B交AC于点E,A1C1分别交AC、BC于D、F两点。
(1)如图①,观察并猜想,在旋转过程中,线段EA1与FC有怎样的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图②,当=30°时,试判断四边形BClDA的形状,并说明理由;
(3)在(2)的情况下,求ED的长。
答案
解:(1)猜想:EA1=FC
证法一:∵AB=BC
∴∠A=∠C
由旋转可知,AB=BC1,∠A=∠C1,∠ABE=∠C1BF
∴△AABE≌△ClBF(ASA)
∴BE=BF
又∵BA1=BC
∴BA1-BE=BC-BF
即EA1=FC;
证法二:∵AB=BC
∴∠A=∠C
由旋转可知,∠A1=∠C,A1B=CB,而∠EBC=∠FBA1
∴△A1BF≌△CBE(ASA)
∴BE=BF
∴BAl-BE=BC-BF
即EA1=FC。
(2)四边形BC1DA是菱形
证明:∵∠A1=∠ABA1=30°
∴A1C1∥AB
同理AC//BC1
∴四边形BC1DA是平行四边形
又∴AB=BCl
∴四边形BC1DA是菱形;
(3)解法一:如图,过点E作EG⊥AB于点G.则AG=BG=1

在RtAEG中,AE=
由(2)知四边形BClDA是菱形
∴AD=AB=2
∴ED=AD-AE=2-
法二:∵∠ABC=120°,∠ABE=30°
∴∠EBC=90°
在RtAEBC中,BE=BC·tanC=2×tan30°=
∴EA1=BA1-BE=
又易证A1C1∥AB
∴∠A1DE=∠A
∴∠A1DE=∠A1
∴ED=EAl=2-
举一反三
如图所示,在网格中有一个四边形图案。
(1)请你分别画出此图案绕点O顺时针方向旋转90°,180°,270°后的图案,你会得到一个美丽的图案,注意千万不要将阴影位置涂错;
(2)若网格中每个小正方形的边长为1,旋转后点A的对应点依次为A1、A2、A3,求四边形AA1A2A3的面积;
(3)这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性,请写出这个结论。
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如图所示,将正方形ABCD绕着点C顺时针方向旋转90°后,与点D重合的点是点(    )。
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一个正方形至少需要转(    )度的角度能和原正方形重合。
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钟表上的分针匀速转一周需要60分,经过25分,分针旋转了(    )度。
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如图所示,已知△ABC与△A"B′C"是全等三角形,那么△A"B′C"是△ABC以O为旋转中心,旋转(    )形成的。
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