设有k个自然数a1，a2，…，ak满足条件1≤a1＜a2＜…＜ak≤50，并且任意两个数的和都不能被7整除，那么这些自然数的个数k最多为 ______．
题型：不详难度：来源：
| 设有k个自然数a1，a2，…，ak满足条件1≤a1＜a2＜…＜ak≤50，并且任意两个数的和都不能被7整除，那么这些自然数的个数k最多为 ______． |
答案
a1，a2，…，ak被7除余数分别为0，1，2，3，4，5，6，
余数只能为（1，2，3）或（4，5，6）任意两个数的和都不能被7整除，
因为1，2，3，…，49这49个数被7除余数分别为0，1，2，3，4，5，6，正好循环7次，50除以7的余数是1，
由此可知余数为（1，2，3）的数有3×7+1=22个符合要求，
另外只放一个7的倍数也可以使任意两个数的和都不能被7整除，
因此这些自然数的个数k最多为 22+1=23个．
故答案为23． |
举一反三
| 某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡．问这间宿舍里住有多少位学生． |
| 某编辑用O～9这10个数字给一本书的各页标上页码．若共写了636个数字，则该书有 ______页． |
| 初二某班有49位同学，他们之间的年龄最多相差3岁，若按属相分组，那么人数最多的一组中至少有同学 ______位． |
| 把1到3这三个自然数填入10×10的方格内，每格内填一个数，求证：无论怎样填法都能使在各行、各列、两条对角线上的数字和中，必有两个是相同的． |
（1）用1×1，2×2，3×3三种型号的正方形地板砖铺设23×23的正方形地面，请你设计一种辅设方案，使得1×1的地板砖只用一块．
（2）请你证明：只用2×2，3×3两种型号的地板砖，无论如何铺设都不能铺满23×23的正方形地面而不留空隙． |
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