正整数x、y、z满足x≤y≤z，1yz+ 1zx+1xy=15，这样的数组（x，y，z）有______组．

题型：不详难度：来源：

正整数x、y、z满足x≤y≤z，

1

yz

+ 

1

zx

+

1

xy

=

1

5

，这样的数组（x，y，z）有______组．

答案

根据题意：x≤y≤z，

1

yz

+ 

1

zx

+

1

xy

=

1

5

，
可知

1

z

（

1

x

+

1

y

）=（

1

5

-

1

xy

），
化简可得

1

z

（

x+y

xy

）=

xy-5

5xy

，
又知xy＞0，
所以

1

z

（x+y）=

1

5

xy-1，
xy≥10，
则可知x、y、z不能同时相等，
当x=1，y=15，解得z=8，不符合题意，
当x=1，y=25，解得z不是整数，不符合题意，
当x=1时，没有满足条件的y和z，
当x=2，y=5，解得z=7，满足题意，
当x=3，y=5，解得z=4，不符合题意，
当x=4，y=5解得z=3，不符合题意，
当x=5，y=5，z不是整数，
当z=6，y=10，z没有整数，
当z=7时，y=10，z没有整数，
依次推理，当x＞7时，没有满足条件的y和z的整数值，
故满足条件的x=2、y=5、z=7，
即这样的数组（x，y，z）有1组．
故答案为1．