正整数x、y、z满足x≤y≤z,1yz+ 1zx+1xy=15,这样的数组(x,y,z)有______组.

正整数x、y、z满足x≤y≤z,1yz+ 1zx+1xy=15,这样的数组(x,y,z)有______组.

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正整数x、y、z满足x≤y≤z,
1
yz
1
zx
+
1
xy
=
1
5
,这样的数组(x,y,z)有______组.
答案
根据题意:x≤y≤z,
1
yz
1
zx
+
1
xy
=
1
5

可知
1
z
1
x
+
1
y
)=(
1
5
-
1
xy
),
化简可得
1
z
x+y
xy
)=
xy-5
5xy

又知xy>0,
所以
1
z
(x+y)=
1
5
xy-1,
xy≥10,
则可知x、y、z不能同时相等,
当x=1,y=15,解得z=8,不符合题意,
当x=1,y=25,解得z不是整数,不符合题意,
当x=1时,没有满足条件的y和z,
当x=2,y=5,解得z=7,满足题意,
当x=3,y=5,解得z=4,不符合题意,
当x=4,y=5解得z=3,不符合题意,
当x=5,y=5,z不是整数,
当z=6,y=10,z没有整数,
当z=7时,y=10,z没有整数,
依次推理,当x>7时,没有满足条件的y和z的整数值,
故满足条件的x=2、y=5、z=7,
即这样的数组(x,y,z)有1组.
故答案为1.
举一反三
方程|xy|+|x+y|=1的整数解的组数为(  )
A.8B.6C.4D.2
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