(I)先假设集合是“好集”.因为,,所以 这与矛盾.这样就确定集合不是“好集”.有理数Q也采用同样的方法,进行推证. (II)根据好集的定义是“好集”,则,然后再根据x,y的任意性,可证明. (III)本小题也是先假设p、q都是真命题,然后根据好集的定义进行推证.. (Ⅰ)集合不是“好集”. 理由是:假设集合是“好集”. 因为,,所以. 这与矛盾.…………2分 有理数集是“好集”. 因为,,对任意的,有,且时,.所以有理数集是“好集”. ………………………………4分 (Ⅱ)因为集合是“好集”,所以 .若,则,即. 所以,即. …………………………6分 (Ⅲ)命题均为真命题. 理由如下: ………………………………………7分 对任意一个“好集”,任取, 若中有0或1时,显然. 下设均不为0,1. 由定义可知:.所以,即. 所以 . 由(Ⅱ)可得:,即. 同理可得. 若或,则显然.若且,则. 所以 . 所以 .由(Ⅱ)可得:. 所以 .综上可知,,即命题为真命题.若,且,则. 所以 ,即命题为真命题. ……………………………………13分 |