已知数列{an}、{bn}满足bn=,求证：数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列。

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知数列{a_n}、{b_n}满足b_n=,求证：数列{a_n}成等差数列的充要条件是数列{b_n}也是等差数列。

答案

证明略

解析

①必要性：
设{a_n}成等差数列，公差为d,∵{a_n}成等差数列
   　　
从而b_n+1－b_n=a₁+n·d－a₁－(n－1)d=d为常数。
故{b_n}是等差数列，公差为d。
②充分性:
设{b_n}是等差数列，公差为d′,则b_n=(n－1)d′
∵b_n(1+2+…+n)=a₁+2a₂+…+na_n                                                          ①
b_n－1(1+2+…+n－1)=a₁+2a₂+…+(n－1)a_n                                 ②
①－②得：na_n=b_n－1

从而得a_n+1－a_n=d′为常数，故{a_n}是等差数列。
综上所述，数列{a_n}成等差数列的充要条件是数列{b_n}也是等差数列。