已知集合A={1,2,3,…,2n}(n∈N*),对于A的一个子集S:若存在不大于n的正整数m,使得对S中的任意一对元素s1,s2,都有|s1-s2|≠m,则称
题型:解答题难度:困难来源:专项题
已知集合A={1,2,3,…,2n}(n∈N*),对于A的一个子集S:若存在不大于n的正整数m,使得对S中的任意一对元素s1,s2,都有|s1-s2|≠m,则称S具有性质P。 (1)当n=10时,试判断集合B={x∈A|x>9}和C={x∈A|x=3k-1,k∈N*)是否具有性质P?并说明理由; (2)当n=1000时, ① 若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性质P?并说明理由; ②若集合S具有性质P,求集合S中元素个数的最大值。 |
答案
解:(1)当n=10时,集合A={1,2,3,…,19,20}, B={x∈A|x>9}={10,11,12,…,19,20}不具有性质P。 因为对任意不大于10的正整数m, 都可以找到该集合中两个元素b1=10与b2=10+ m,使得|b1-b2|=m成立 集合C={x∈A│x=3k-1,k∈N*)具有性质P 因为可取m=1<10,对于该集合中任意一对元素c1=3k1-1,c2=3k2-1,k1,k2∈N* 都有|c1-c2|=3|k1-k2|≠1。 (2)当n=1000时,则A={1,2,3,…,1999,2000}, ①若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈s}一定具有性质P 首先因为T={2001-x|x∈S},任取t=2001-x0∈T,其中x0∈S, 因为SA,所以x0∈{1,2,3,…,2000}, 从而1≤2001-x0≤2000,即t∈A, 所以TA 由S具有性质P,可知存在不大于1000的正整数m,使得对S中的任意一对元素s1,s2,都有|s1-s2|≠m 对于上述正整数m, 从集合T={2001-x|x∈S)中任取一对元素t1=2001-x1,t2=2001-x2,其中x1,x2∈S, 则有|t1-t2|=|x1-x2|≠m, 所以集合T={2001-x|x∈S}具有性质P。 ②设集合S有k个元素,由第①问知,若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈S)一定具有性质P 任给x∈S,1≤x≤2000,则x与2001-x中必有一个不超过1000, 所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000, 不妨设s中有t(t≥)个元素b1,b2,…,bt不超过1000 由集合S具有性质P,可知存在正整数m≤1000, 使得对S中任意两个元素s1,s2,都有|s1-s2|≠m, 所以一定有b1+m,b2+m,…,bt+mS 又bi+m≤1000+1000=2000, 故b1+m,b2+m,…,bt+m∈A, 即集合A中至少有t个元素不在子集S中, 因此k+≤k+t≤2000, 所以k+≤2000,得k≤1333, 当S={1,2,…,665,666,1334,…,1999,2000}时, 取m=667,则易知对集合S中任意两个元素y1,y2, 都有|y1-y2|≠667,即集合S具有性质P, 而此时集合S中有1333个元素, 因此集合S元素个数的最大值是1333。 |
举一反三
已知集合A={1,2,3,…,2n}(n∈N*),对于A的一个子集S,若存在不大于n的正整数m,使得对S中的任意一对元素s1,s2,都有|s1-s2|≠m,则称S具有性质P, (1)当n=10时,试判断集合B={x∈A|x>9}和C={x∈A|x=3k-1,k∈N*}是否具有性质P?并说明理由; (2)当n=1 000时, ①若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性质P?并说明理由; ②若集合S具有性质P,求集合S中元素个数的最大值。 |
设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数为 |
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A.9 B.8 C.7 D.6 |
设非空集合S={x|m≤x≤l}满足:当x∈S时,有x2∈S。 给出如下三个命题:①当m=1,则S={1};②当m=-,则≤l≤1;③若l=,则≤m≤0; 其中正确的命题的个数为 |
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A.0 B.1 C.2 D.3 |
已知函数的定义域是集合A,函数g(x)=lg[x2-(2a+1)x+a2+a]的定义域是集合B, (1)分别求集合A、B; (2)若A∪B=B,求实数a的取值范围. |
定义集合运算:AB={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合AB的所有元素之和为 |
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A、0 B、6 C、12 D、18 |
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