已知集合A={a1,a2,…,an}中的元素都是正整数,且a1<a2<…<an,集合A具有性质P:对任意的x,y∈A,且x≠y,有。(1)判断集合{1,2,3,
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已知集合A={a1,a2,…,an}中的元素都是正整数,且a1<a2<…<an,集合A具有性质P:对任意的x,y∈A,且x≠y,有。(1)判断集合{1,2,3,
题型:解答题
难度:一般
来源:专项题
已知集合A={a
1
,a
2
,…,a
n
}中的元素都是正整数,且a
1
<a
2
<…<a
n
,集合A具有性质P:对任意的x,y∈A,且x≠y,有
。
(1)判断集合{1,2,3,4)是否具有性质P;
(2)求证:
;
(3)求证:n≤9。
答案
解:(1)
所以集合{1,2,3,4)具有性质P。
(2)证明:依题意有
又
因此
可得
∴
即
。
(3)由(2)可得
又a
1
≥1,可得
因此n<26
同理
可知
又
可得
所以i(n-i)<25(i=1,2,…,n-1)均成立
当n≥10时,取i=5,则i(n-i)=5(n-5)≥25,可知n<10
又当n≤9时,
所以n≤9。
举一反三
在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4。
给出如下四个结论:①2011∈[1];②-3∈[3];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”。
其中,正确结论的个数是
[ ]
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:单选题
难度:一般
|
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设a,b,c为实数,f(x)=(x+a)(x
2
+bx+c),g(x)=(ax+1)(cx
2
+bx+1)。记集合S={x|f(x)=0,x∈R},T={x|g(x)=0,x∈R} ,若|S|,|T|分别为集合S,T的元素个数,则下列结论不可能的是
[ ]
A、|S|=1且|T|=0
B、|S|=1且|T|=1
C、|S|=2且|T|=2
D、|S|=2且|T|=3
题型:单选题
难度:一般
|
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i是虚数单位,若集合S={-1,0,1},则
[ ]
A.i∈S
B.i
2
∈S
C.i
3
∈S
D.
题型:单选题
难度:简单
|
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已知集合A={1,2,3,…,2n}(n∈N*),对于A的一个子集S:若存在不大于n的正整数m,使得对S中的任意一对元素s
1
,s
2
,都有|s
1
-s
2
|≠m,则称S具有性质P。
(1)当n=10时,试判断集合B={x∈A|x>9}和C={x∈A|x=3k-1,k∈N*)是否具有性质P?并说明理由;
(2)当n=1000时,
① 若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性质P?并说明理由;
②若集合S具有性质P,求集合S中元素个数的最大值。
题型:解答题
难度:困难
|
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已知集合A={1,2,3,…,2n}(n∈N*),对于A的一个子集S,若存在不大于n的正整数m,使得对S中的任意一对元素s
1
,s
2
,都有|s
1
-s
2
|≠m,则称S具有性质P,
(1)当n=10时,试判断集合B={x∈A|x>9}和C={x∈A|x=3k-1,k∈N*}是否具有性质P?并说明理由;
(2)当n=1 000时,
①若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性质P?并说明理由;
②若集合S具有性质P,求集合S中元素个数的最大值。
题型:解答题
难度:困难
|
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