已知集合P={x|12≤x≤2},y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q.(1)若P∩Q≠∅,求实数a的取值范围;(2)若方程log2(ax2-2x+2)
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已知集合P={x|12≤x≤2},y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q.(1)若P∩Q≠∅,求实数a的取值范围;(2)若方程log2(ax2-2x+2)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知集合P=
{x|
1
2
≤x≤2}
,y=log
2
(ax
2
-2x+2)的定义域为Q.
(1)若P∩Q≠∅,求实数a的取值范围;
(2)若方程
lo
g
2
(a
x
2
-2x+2)=2在[
1
2
,2]内有解
,求实数a的取值的取值范围.
答案
(1)由已知Q={x|ax
2
-2x+2>0},若P∩Q≠∅,
则说明在
[
1
2
,2]
内至少有一个x值,使不等式ax
2
-2x+2>0,即,
在
[
1
2
,2]内至少有一个x值,使a>
2
x
-
2
x
2
成立,令u=
2
x
-
2
x
2
,则只需a>
u
min
.
又u=-2(
1
x
-
1
2
)
2
+
1
2
,当x∈[
1
2
,2]时,
1
x
∈[
1
2
,2],从而u∈[-4,
1
2
]
∴a的取值范围是a>-4;
(2)∵方程
lo
g
2
(a
x
2
-2x+2)=2在[
1
2
,2]内有解
,
∴
a
x
2
-2x+2=4即a
x
2
-2x-2=0在[
1
2
,2]内有解,分离a与x,得
a=
2
x
+
2
x
2
=2(
1
x
+
1
2
)
2
-
1
2
,在[
1
2
,2]上有x的值,使上式恒成立
∵
3
2
≤2(
1
x
+
1
2
)
2
-
1
2
≤12
∴
3
2
≤a≤12,即a的取值范围是[
3
2
,12]
.
举一反三
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2
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2
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2
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